「宜しくお願い致します」という書き方は間違い
正解は，「私たち」と「友達」です。
「私たち」の「たち」は，「私ども」の「ども」と同様，接尾語です。
接尾語は平仮名で書くのが原則ですので，「たち」と平仮名で書きます（下記➁参照）。
「友達」は漢字で「友達」と書きます。
実は，「常用漢字表」は，漢字の「達」に「たち」や「だち」という字訓を与えてはいません。
しかしながら，「友達」と書く場合に限って，「ともだち」という読み（字訓）を与えていますので，「友達」と書くのが正解になるのです（下記①参照）。
参照：
①「常用漢字表」
「達」・・・・字音「タツ」 （語例：達人，調達，伝達）
＊友達（ともだち）
➁「公用文における漢字使用等について」1（2）エ 次のような接尾語は，原則として，仮名で書く。
例 ・・・ ども（私ども） ・・・
